Posisi Titik Terhadap Lingkaran dan Posisi Garis Terhadap Lingkaran

Posisi Titik Terhadap Lingkaran dan Posisi Garis Terhadap Lingkaran

A. Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah garis lengkung yang kedua ujungnya bertemu pada satu titik. Dimana titik- titik pada garis lengkung tersebut mempunyai jarak yang sama terhadap titik tertentu. Titik tertentu disebut titik pusat.

 

B. Posisi Titik Terhadap Lingkaran

         (i)                                                     (ii)                                                   (iii)

(i) Di dalam lingkaran            (ii) Pada lingkaran                              (iii) Di luar lingkaran

Titik (a,b)                                a² + b² = r²                                                          a² + b² > r²

x² + y² = r²

a² + b² < r²

Ada 3 kemungkinan posisi suatu titik terhadap lingkaran:

1. Titik terletak pada lingkaran , jika titik tersebut disubtitusikan ke persamaan lingkaran didapat.

a. x² + y² = r² atau

b. (x-a)² + (y-b)² = r² atau

c. x² + y² + Ax + By + C = 0

 

2. Titik terletak di dalam lingkaran, jika titik tersebut disubtitusikan ke persamaan lingkaran didapat.

a. x² + y² < r² atau

b. (x-a)² + (y-b)² < r² atau

c. c. x² + y² + Ax + By + C < 0

 

3. Titik terletak di luar lingkaran, jika titik tersebut disubtitusikan ke persamaan lingkaran didapat.

a. a. x² + y² > r² atau

b. (x-a)² + (y-b)² > r² atau

c. c. x² + y² + Ax + By + C > 0

 

Contoh Soal dan Penyelesaiannya:

1.Tanpa menggambar diagram.Tentukan posisi titik-titik apakah terletak di dalam,di luar atau pada lingkaran x²+y²+8x-4y-5=0

Penyelesaiaan:

a.(-1,6)

x²+y²+8x-4y-5=0

(-1)²+(6)²+8(-1)-4(6) -5=0

1 +36 -8 -24 -5 =8>0(diluar lingkaran)

 

b.(-7,-2)

x²+y²+8x-4y-5=0

(-7)²+(-2)²+8(-7)-4(-2)-5=0

49+4-56+8-5=0

-3+3=0

0=0(pada lingkaran)

 

c.(-3,5)

x²+y²+8x-4y-5=0

(-3)²+(5)²+8(-3)-4(5)-5=0

9+25-24-20-5=0

-15<0(di dalam lingkaran)

 

2. Tanpa menggambarkan diagram. Tentukan posisi titik-titik terletak di dalam, di luar, atau pada lingkaran x² + y² = 146!

Penyelesaian:

a. (-5, -11)

(-5)² + (-11)² = 25 + 121 = 146 ( pada lingkaran)

b. (-3, -7)

(-3)² + (-7)² = 9 + 49 =58 < 146 (di dalam lingkaran)

c. (6, -12)

(6)² + (-12)² = 36 + 144 = 180 > 146 (di luar lingkaran)

 

C. Kedudukan garis terhadap lingkaran

Untuk menentukan kedudukan garis g: y = mx+n terhadap lingkaran L :x²+y²+Ax+By+C=0 dapat kita ketahui dengan mensubstitusikan persamaan garis g kelingkaran L sehingga diperoleh persamaan kuadrat. Dari nilai diskriminan(D) persamaan kuadrat tersebut diperoleh hubungan berikut.

1.      D > 0 ,maka persamaan kuadrat mempunyai dua angka rill, misalkan x₁ dan x_2.jika x₁ dan x₂ disubstitusikan kepersamaan garis g, diperoleh y₁ dan y₂. Dengan demikian (x_1,y₁) dan (x₂ dan y₂) merupakan dua titik potong lingkaran L dengan garis g.

Jadi, jika D > 0, garis g memotong lingkaran di dua titik.

2.      D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai satu akar rill, misalkan x₁. Jika x₁ disubstitusikan kepersamaan garis g diperoleh y₁ dengan demikian, (x₁y₁) satu-satunya titik potong antara garis g dengan lingkaran L. Artinya garis ghanya menyinggung lingkaran L Jadi, jika D = 0, garis g menyinggung lingkaran.

3.      D < 0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki solusi artinya garis g tidak berpotongan dengan lingkaran L. Jadi, jika D < 0 ,garis g diluar lingkaran.

Secara geometri, kedudukan garis g terhadap lingkaran L dapat digambarkan sebagai berikut

 

Contoh Soal dan Penyelesaian:

1. Bagaimanakah kedudukan garis 2x+y=2 terhadap lingkaran x²+2y²=9 ?

Penyelesaian:

Persamaan garis:2x+y=2............(1)

                           y=2-2x.............(2)

persamaan lingkaran x²+y²=9.....(3)

substitusikan persamaan (2) ke persamaan (3)

x²+y²                                    =9

x²+(2-2x)²                   =9

x²+4-8x+4x²                =9

5x²-8x+4                     =9

5x²-8x+4-9                  =9-9

5x²-8x-5                      =0

Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat diatas adalah

D         =b² – 4ac

            =(-8)²-(4x5x(-5))

            =64+100

            =164

Karna nilai D>0 maka garis 2x+y=2 memotong lingkaran x²+y²=9

 

D. Rangkuman Rumus

1. Posisi titik terhadap lingkaran

·         Di dalam lingkaran                                                                                            

- a² + b² < r²

·         Pada lingkaran

 

- a² + b² = r²

·         Di luar lingkaran

- a² + b² > r²

2. Posisi garis terhadap lingkaran

Nilai D (diskriminan) = b² – 4ac

D > 0 garis g memotong lingkaran L di dua titik persekutuan

D = 0 garis g menyinggung lingkaran L di satu titik

D < 0 garis g di luar lingkaran

 

E. Soal - soal

1. Pilhan Ganda

1. Tentukan kedudukan titik R(5,4) terhadap lingkaran yang berpusat di titik P(-1,-4) dan berjari -jari 6!

a. Tidak ada

b. Ada

c. Pada lingkaran

d. Di luar lingkaran

 

2. Tentukan K agar titik (K, -2) terletak pada lingkaran x²+y² – 5x + 7y + 4 = 0!

a. -1 atau 6

b. 6 atau -1

c. 6 atau -6

d. -1 atau 1

 

3. Tentukan posisi titik-titik berikut terletak di dalam, di luar, atau pada lingkaran x²+y² = 50!

a. (-1, 1)  

b. (2, -4)

c. (3, 8)

d. benar semua

 

4. Tentukan kedudukan garis g : x + y = 3 terhadap lingkaran L : x² + y² = 36!

a. Ada

b. Garis g memotong lingkaran di satu titik

c. Garis g memotong lingkaran L di dua titik

d. Garis g di luar lingkaran L

 

5. Tentukan posisi titik A (3,1) terhadap lingkaran yang persamaannya x²+y² = 16 !

a. Di dalam lingkaran

b. Di luar lingkaran

c. Pada lingkaran

d. Salah semua

 

6. Tentukan posisi titik A (-5,1) terhadap lingkaran dengan persamaan x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0!

a. Di dalam lingkaran

b. Pada lingkaran

c. Ada

d. Di luar lingkaran

 

7.  Tentukan posisi garis y = x + 10 terhadap lingkaran x² + y² = 9!

a. Di atas lingkaran

b. Di bawah lingkaran

c. Di luar lingkaran

d. Pada lingkaran

 

8. Tentukan nilai p agar garis y = -x + p terletak di luar lingkaran x² + y² – 2x – 4y + 3 = 0!

a. p < 3 atau p > 0

b. p < 1 atau p > 5

c. p > 4 atau p > 1

d. p > 1 atau p < 5

 

9. Tentukan kedudukan garis g: 2x – 3y -6 = 0 terhadap lingkaran L: x² + y² =12!

a. Ada

b. Garis g memotong lingkaran L di satu titik

c. Garis g memotong lingkaran L di dua titik

d. Garis g di luar lingkaran L

 

10. Tentukan kedudukan garis g: 2x – y + 1 = 0 terhadap lingkaran L: x² + y² = 4!

a. Tidak ada

b. Garis g memotong lingkaran L di dua titik

c. Garis g memotong lingkaran L di satu titik

d. Garis g di luar lingkaran L

 

2. Essay

1. Tentukan nilai p sehingga titik (-8,p) terletak pada lingkaran x² + y² = 289!

2. Tentukan posisi titik (1,2) terhadap lingkaran x² + y² = 5!

3. Titik (3, m) berada pada luar lingkaran x² + y² = 45, untuk nilai m yang memenuhi adalah

4. Tentukanlah kedudukan garis y = x – 2 terhadap lingkaran (x – 3)² + (y + 4)² = 9!

5. Buktikan bahwa garis y = 2x + 1 memotong lingkaran x² + y² + 4x + 6y + 8 = 0 dan tentukan titik potongnya!

 

Jika ingin ingin mendownload data di atas silahkan klik    disini

Daftar Pustaka

 

http://defajhareborn.blogspot.com/2015/06/soal-matematika-lingkaran-kelas-xi-dan.html?m=1

http://tomyherawansman48jkt.blogspot.com//2015/06/persamaan-lingkaran-lingkaran-dengan.html?m=1

http://materimatematikalengkap.blogspot.com/2017/11/kedudukan-titik-dan-garis-terhadap.html?m=1

https://www.wardayacollage.com/matematika/geometri-koordinat/persamaan-lingkaran/posisi-titik-terhadap-lingkaran/